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(A) Cristal Parfait--Définition du Reseau--Exemples

On définit habituellement le cristal parfait comme un objet infini engendré par la répétition triplement périodique d'un motif central remplissant tout le volume convexe (0, a, b, c) appelé alors maille centrale.

On a défini ici un cristal parfait à trois dimensions si a, b, c sont trois vecteurs linéairement indépendants (c'est-à-dire non contenus dans un même plan) de l'espace à 3 dimensions. Les vecteurs qui répètent infiniment ce motif sont les vecteurs

\begin{displaymath}
t = u\textbf{a} + v\textbf{b} + w\textbf{c}\end{displaymath}

u, v et w sont des entiers relatifs (négatifs, positifs ou nuls) quelconques, chacun d'entre eux pouvant parcourir le groupe Z des entiers relatifs (u, v, w ).

Exemples : Pour simplifier, tous nos exemples sont donnés dans l'espace à 2 dimensions, à l'aide de dessins de tapisseries recouvrant le mur d'une chambre (de dimensions infinies puisqu'il s'agit d'un cristal parfait).[*]

- ler exemple Fig. 1: la maille est un parallèlogramme, le réseau sera appelé réseau oblique. Ce parallèlogramme ne contient qu'une fleur par maille[*] et pour cette raison le réseau est dit primitif.

- 2ème exemple Fig. 2: la maille est un rectangle contenant une seule fleur, le réseau est appelé rectangle primitif.

- 3ème exemple Fig. 3: cette fois nous avons le choix entre deux réseaux: le réseau a, b oblique primitif. Le réseau a, b$^{\prime}$ rectangle centrée,[*] appelé ainsi parce qu'il contient deux fleurs par maille et que si l'on choisit l'origine de la maille au centre d'une fleur le centre de la seconde fleur est au centre du rectangle.

Remarque : l'origine 0 de la maille est arbitraire et on peut la choisir n'importe où, cf. Fig. 1 où la meme maille décalée est dessinée en pointillé.

Théorème : pour un cristal parfait, les vecteurs t forment un groupe de translation[*] qui définit le réseau.

Démonstration : La loi de composition est l'addition et c'est une loi de composition interne dans l'ensemble des vecteurs t. L'ensemble des vecteurs t contient l'élément neutre u = v = w = 0. Chaque vecteur t a un inverse contenu dans l'ensemble t: $u
\rightarrow -u, v \rightarrow -v, w \rightarrow -w$. Cet ensemble constitue donc un groupe.

Exemples

- pour le trois exemples précédents, si on choisit la maille a, b on a:

\begin{displaymath}
\textbf{t} = u\textbf{a} + v\textbf{b} \qquad u \in \textbf{...
 ...extbf{Z}\quad \mbox{ c'est-\`{a}-dire } (u, v) \in \textbf{Z}^2\end{displaymath}

- pour le troisième exemple, si on choisit la maille a, b$^{\prime}$ on a:

\begin{displaymath}
\textbf{t} = u \frac{\textbf{a}}{2} + v \frac{\textbf{b}^{\prime}}{2}
\quad\mbox{ avec }\quad (u, v) {\in} \textbf{Z}^2\end{displaymath}

et la restriction u + v = 2p (pair)

Dans tous le cas le groupe des vecteurs t définit le réseau et précise si celui-ci est primitif (pas de restriction), centré $\dots$

Remarque : ces dessins qui nous ont servi de modèles ne sont pas tellement éloignés de la réalité: si on considère la section de la structure de NaCl par le plan de la face de sa maille cubique on obtient

- soit la Fig. 4 si on ponctualise les ions en ne représentant que leurs noyaux

- soit la Fig. 5 si on représente plus correctement les courbes d'egale densité electronique[*] qui ressemblent quelque peu aux lignes des contours des fleurs dessinées sur les Figs 1, 2, 3


 
Figure 1:
\begin{figure}
\includegraphics {fig1.ps}
 \end{figure}


 
Figure 2:
\begin{figure}
\includegraphics {fig2.ps}

\includegraphics {fig2a.ps}
 \end{figure}


 
Figure 3:
\begin{figure}
\includegraphics {fig3.ps}
 \end{figure}


 
Figure 4:
\begin{figure}
\includegraphics {fig4.ps}
 \end{figure}


 
Figure 5:
\begin{figure}
\includegraphics {fig5.ps}
 \end{figure}

Définitions mathématiques du réseau et de la maille dans le cas d'un cristal parfait (facultatif)

Soit l'espace pointé (E, 0) où E est l'espace affine à trois dimensions associé à l'espace vectoriel E à trois dimensions et O est un point de E appelé origine de l'espace pointé (0 est un point arbitraire du cristal).

Les points du cristal sont les éléments de E. Les vecteurs t sont des éléments particuliers de E qui constituent un sous ensemble de E.

Théorème : les vecteurs t forment un groupe infini, dit groupe de translations (démonstration immédiate).

Definition: relation d'équivalence T entre les points A et $A^{\prime}$de E. On définit la relation d'équivalence suivante: A et $A^{\prime}$ $\in$ E sont équivalents par la relation T si

\begin{displaymath}
\textbf{AA}^{\prime} = \textbf{t} = u\textbf{a} + v\textbf{b} + w\textbf{c} 
\qquad (u, v, w) \in \textbf{Z}^3\end{displaymath}

Cette relation est réflexive, symétrique et transitive. Cette definition nous conduit au résultat suivant.

L'ensemble quotient E/T est constitué de tous les points situés dans le volume convexe (0, a, b, c) emphappelé maille centrale.

Pour le cristallographe les points $A A^{\prime}$ $A^{\prime}$$^{\prime}$, appartenant à la même classe d'équivalence, s'identifient à un seul et même point; celui de la maille centrale, p. e.


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