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(C) Application des Groupes Ponctuels de Symétrie--Propriétés des Cristaux--un Exemple: Ferroélectricité-Transition: Ferroélectrique $\Leftrightarrow$ Paraélectrique

Considérons maintenant le réseau de la Fig. 6:

Il contient des fleurs noires chargées négativement et situées au coin des mailles rectangles; et des fleurs blanches chargées positivement et situées au centre des mailles. On vérifie immédiatement que les G.P.S. de ce cristal est toujours 2mm. Dans ce cas, contrairement à la Fig. 3, les deux fleurs de la maille (la noire et la blanche) no sont plus équivalentes et le motif dont la répétition périodique engendre le cristal n'est plus une fleur, mais l'ensemble des deux fleurs: une noire et une blanche située à $\textbf{a} + \textbf{b}^{\prime}/2$ de la noire. Le réseau n'est donc plus centré comme sur la figure 3 mais primitif. Dans chaque maille le centre de gravité des charges positives coincide avec le centre de gravité des charges négatives et le cristal ne présent donc pas de moment dipolaire électrique permanent:[*] il s'agit d'un composé paraélectrique.

Maintenant si nous acceptons de perdre deux des quatres opérations ponctuelles de symétrie (O.P.S.) du G.P.S. 2mm, en no conservant que e et m2, on peut alors déplacer la fleur blanche en la faisant glisser un peu parallelement à m2.[*] On obtient alors le cristal de la Fig. 6$^{\prime}$ dont le G.P.S. est m, groupe d'ordre 2 (e, m2).

Dans chaque maille, si le centre de gravité des charges négatives est toujours au centre du rectangle, le centre de gravité des charges positives en est légèrement décalé vers le haut sur le grand axe du rectangle. Le cristal présente alors un moment dipolaire électrique $\mu$ que nous avons représenté sur une maille sur les Figs 6$^{\prime}$ et 6$^{\prime\prime}$: il s'agit alors d'un composé ferroélectrique.


 
Figure 6: Il y a aussi des axes 2 à 1$^{\prime}$ intersection des miroirs.
\begin{figure}
\includegraphics {fig6.ps}
\end{figure}

On vérifie immédiatement que si la structure d'un cristal à deux dimensions contient des axes binaires (ou axes 2), pour le cristal supposé infini, les traces de ces axes binaires seront confondues avec les centres de gravité des charges positives et des charges négatives. Le cristal est donc parélectrique. D'où la première loi:

1ère loi: dans un espace à deux dimensions, pour qu'un cristal soit ferroélectrique, il est nécessaire qu'il ne contienne pas de centres de symétrie.

Exercise : généraliser aux axes d'ordre n et démontrer la 2ème loi.

2ème loi: dans une espace à trois dimensions pour qu'un cristal soit ferroélectrique, il est nécessaire qu'il ne contienne pas de centres de symétrie .

La manière dont nous avons introduit la ferroélectricité dans le cristal de la Fig. 6$^{\prime}$ à partir du cristal paraélectrique de la figure 6 justifie immédiatement la 3ème loi.

3ème loi: lors de la transition paraélectrique $\leftrightarrow$ferroélectrique d'un composé la phase ferroélectrique a un G.P.S. (groupe ponctuel de symétrie) qui est un sous-groupe du G.P.S. de la phase paraélectrique qui est donc la plus symétrique. En effet le G.P.S. m (e, m2) est un sous-groupe du G.P.S. 2mm (e, 2, m1, m2).

Facultatif : la 3ème loi est d'ailleurs un cas particulier de la 4ème loi: lors d'une transition ordre-désordre la phase ordonnée est la moins symétrique et son groupe est un sous-groupe de celui de la phase désordonnée .

Il est vrai qu'il peut s'agir ici de groupes spatiaux de symétrie qui seront définis au paragraphe suivant.

Lors de la transition la phase ferroélectrique est-elle la phase haute température ou bien la phase basse temperature?

En pratique le cas de la Fig. 6$^{\prime}$ peut se produire lorsque les fleurs noires sont des gros ions négatifs et les fleurs blanches de petits ions positifs qui ont trop de place dans la cavité formée par les ions negatifs autour.

L'ion positif se déplace alors, par exemple, vers le haut de ces cavités trops grandes dans chaque maille et le composé devient ferroélectrique. Il est bien évident que l'agitation thermique (donc le désordre) ne favorise pas la ferroélectricité: en effet l'amplitude des vibrations thermiques fait hésiter l'ion positif entre les positions excentrées possibles dans la cavité (ici la haute et la basse) et le mantient finalement, en moyenne, dans le temps, au centre de la cavité. La phase paraélectrique (désordonnée) est donc en général la phase haute température, la phase ferroélectrique étant la phase basse température.


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